Aljabar Boolean dan Karnaugh Map

Aljabar Boolean

Aljabar Boolean memuat variable dan simbul operasi untuk gerbang logika. Simbol yang digunakan pada aljabar Boolean adalah: (.) untuk AND, (+) untuk OR, dan ( ) untuk NOT. Rangkaian logika merupakan gabungan beberapa gerbang, untuk mempermudah penyeleseian perhitungan secara aljabar dan pengisian tabel kebenaran digunakan sifat-sifat aljabar Boolean

Dalam aljabar boolean digunakan 2 konstanta yaitu logika 0 dan logika 1. ketika logika tersebut diimplementasikan kedalam rangkaian logika maka logika tersebut akan bertaraf sebuah tegangan. kalau logika 0 bertaraf tegangan rendah (aktive low) sedangkan kalau logika 1 bertaraf tegangan tinggi (aktive high). pada teori - teori aljabar boolean ini berdasarkan aturan - aturan dasar hubungan antara variabel - variabel boolean.

Dalil-dalil Boolean (Boolean postulates) P1: X= 0 atau X=1
P2: 0 . 0 = 0
P3: 1 + 1 = 1
P4: 0 + 0 = 0
P5: 1 . 1 = 1
P6: 1 . 0 = 0 . 1 = 0
P7: 1 + 0 = 0 + 1 = 1


Theorema Aljabar Boolean T1: Commutative Law
a. A + B = B + A
b. A . B = B . A
T2: Associative Law
a. ( A + B ) + C = A + ( B + C )
b. ( A . B ) . C = A . ( B . C )
T3: Distributive Law
a. A . ( B + C ) = A . B + A . C
b. A + ( B . C ) = ( A + B ) . ( A + C )
T4: Identity Law
a. A + A = A
b. A . A = A
T5: Negation Law
1. ( A’ ) = A’
2. ( A’ )’ = A
T6: Redundant Law
a. A + A . B = A
b. A . ( A + B ) = A
T7: 0 + A = A
1 . A = A
1 + A = 1
0 . A = 0
T8: A’ + A = 1
A’ . A = 0
T9: A + A’ . B = A + B A . ( A’ + B ) = A . B
T10: De Morgan’s Theorem
a. (A+B)’ = A’ . B’
b. (A . B)’= A’ + B’


Karnaugh Map
Karnaugh map (disingkat K-Map) adalah suatu metode untuk menjelaskan beberapa hal tentang penghitung aljabar boolean, metode ini telah ditemukan oleh Maurice Karnaugh pada tahun 1953. Karnaugh map ini sering digunakan untuk perhitungan yang menghitung sistem pola pikir manusia dengan hal-hal yang menguntungkan (sistem pemetaan peluang).

Seperti gambar dibawah ini adalah sistem pemetaan pada bilang aljabar boolean :

gambar 1 sistem pemetaan pada karnaugh map

pada gambar pemetaan diatas, variabel dari aljabar boolean ditransfer berdasarkan variabelnya masing-masing, dimana terjadi sistem perubahan pada beberapa kotak sehingga menghasilkan sebuah rumus 2n dengan n adalah banyaknya kotak (1,2,3,4,...).

Dibawah sini ada beberapa sistem penghitungan aljabar boolean dengan menggunakan karnaugh map diantaranya :

gambar 2 ∑(0); K = 0

gambar 3 ∑(1,2,3,4); K = 1

gambar 4 ∑(1,4); K = A′B′ + AB

gambar 5 ∑(1); K = A′B′

gambar 6 ∑(2,3,4); K = A + B

dari sistem penghitungan diatas dapat kita simpulkan bahwa sistem berdasarkan f(n) dengan n adalah nilai kolom pada tabel boolean dan pada gambar 1 menjelaskan bahwa seluruh jumlah adalah nol karena tidak ada nilai yang dapat dihitung, namun pada gambar 2 seluruh kolom terdapat nilai sehingga jumlah dari tabel tersebut adalah satu, namun jika pada gambar 3,4,5 dan 6 adalah penjumlahan pada bidang yang masing-masing memiliki nilai pada satu kolomnya, baik itu pada kolom A maupun kolom B.

Dalam aplikasi di kehuidupan kenyataan karnaugh map digunakan untuk menghitung sebuah peluang yang akan didapat sebuah permasalahan, dan kebanyakan digunakan untuk menghitung untung ruginya sistem permainan saham.

sumber:
http://andrianryuzaki.blogspot.com/2011/10/aljabar-boolean-dan-karnaugh-map.html